Lieu géométrique

Définition

Un lieu géométrique est un ensemble de points qui remplissent certaines conditions. Résoudre un problème de lieu géométrique consiste à déterminer cet ensemble de points.

Remarque

Un problème de lieu géométrique peut se voir comme une équation ou une inéquation dont l'inconnue est un point.

Exemples  avec des vecteurs

Soit \(\text A\) et \(\text B\) deux points distincts du plan complexe, et \(\overrightarrow{u}\)  un vecteur.

• Le lieu des points \(\text M\) tels que \(\overrightarrow{\text A\text M}=\overrightarrow{\text M\text B}\) est le milieu du segment \([\text A\text B]\) .
  
• Le lieu des points \(\text M\) tels que \(\overrightarrow{\text A\text M} \cdot \overrightarrow{u}=0\) est la droite passant par \(\text A\)  ayant \(\overrightarrow{u}\)  pur vecteur normal.
  
• Le lieu des points \(\text M\) tels que \(\overrightarrow{\text M\text A} \cdot \overrightarrow{\text M\text B}=0\) est l e cercle de diamètre \([\text A\text B]\) .
  

Exemples  avec des distances

Soit \(\text A\) et \(\text B\) deux points distincts du plan complexe.

• Le lieu des points \(\text M\) tels que \(\text M\text A=\text M\text B\) est la médiatrice du segment \([\text A\text B]\) .
  
• Le lieu des   points \(\text M\) tels que \(\text M\text A=4\)  est le cercle de centre \(\text A\)  et de rayon 4.
  
• Le lieu des   points \(\text M\) tels que \(\text M\text A=0\) est le point \(\text A\) .
  
• Le lieu des  points \(\text M\) tels que \(\text M\text A=-2\) est l'ensemble vide.
  
• Le lieu des   points \(\text M\) tels que \(\text M\text A\geqslant 0\)  est le plan entier.
  
• Le lieu des   points \(\text M\) tels que \(\text M\text A>0\) est le plan privé du point \(\text A\) .
  
• Le lieu des   points \(\text M\) tels que \(\text M\text A \leqslant 3\) est le disque de centre  \(\text A\) et de rayon 3.
  

Exemples  avec des angles orientés

Soit \(\text A\) et \(\text B\) deux points distincts du plan complexe.

• Le lieu des points \(\text M\) tels que \(\left(\overrightarrow{\text M\text A};\overrightarrow{\text M\text B}\right) \equiv \dfrac{\pi}{2} \ [\pi]\) est le cercle de diamètre \([\text A\text B]\) privé des points \(\text A\) et  \(\text B\) .
  
• Le lieu des   points \(\text M\) tels que \(\left(\overrightarrow{\text M\text A};\overrightarrow{\text M\text B}\right) \equiv \dfrac{\pi}{2} \ [2\pi]\) est un demi-cercle de diamètre \([\text A\text B]\) privé des points   \(\text A\) et  \(\text B\) .
  
• Le lieu des   points \(\text M\) tels que \(\left(\overrightarrow{\text M\text A};\overrightarrow{\text M\text B}\right) \equiv \pi \ [2\pi]\)   est le segment \([\text A\text B]\) privé des points  \(\text A\) et  \(\text B\) .
  
• Le lieu des   points \(\text M\) tels que \(\left(\overrightarrow{\text M\text A};\overrightarrow{\text M\text B}\right) \equiv 0 \ [2\pi]\) est la droite \((\text A\text B)\) privée du segment \([\text A\text B]\) .
  
• Le lieu d es points \(\text M\) tels que \(\left(\overrightarrow{\text M\text A};\overrightarrow{\text M\text B}\right) \equiv 0 \ [\pi]\) est l a droite \((\text A\text B)\) .